Définition :
Un anneau intègre est dit factoriel si et seulement si :
Tout élément non nul (et non inversible) admet une décomposition en produits de facteurs irréductibles
Cette décomposition est "unique" au sens suivant : si on a $$\begin{cases} a=p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n}\quad\text{ avec }\quad \alpha_i\gt 0,p_i\text{ irréductibles 2 à 2 non associés}\\ a=q_1^{\beta_1}\dots q_m^{\beta_m}\quad\text{ avec }\quad \beta_i\gt 0,q_i\text{ irréductibles 2 à 2 non associés}\end{cases}$$ alors \(n=m\) et il existe une permutation \(\sigma\) tq \(\forall i,p_i\) et \(q_{\sigma(i)}\) sont associés et \(\alpha_i=\beta_{\sigma(i)}\)
Proposition :
Soit \(A\) un anneau noéthérien qui vérifie le lemme d'Euclide
Alors \(A\) est factoriel
(Noéthérianité, Lemme d'Euclide)
Corollaire :
Tout anneau principal est factoriel
(Anneau principal)
Passage aux polynômes
Théorème :
Si \(A\) est factoriel, alors \(A[X]\) est factoriel
